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【中学数学】因数分解が嫌いな人へ

 中学生の勉強法

JUGEMテーマ:教育

こんにちは!

You-学舎のなかじまです。

 

今日は、中学3年生の1学期の数学の目玉「因数分解」についてお話ししたいと思います。

同じ計算単元のなかで展開はできるけど因数分解はあんまり得意じゃないな…と思っていませんか?

 

You-学舎にも同じ悩みを持った中3生が何人もいます。

 

そこで、因数分解を克服する方法を3つのステップに分けてお話ししたいと思います。

 

因数分解が得意になるステップ その1

乗法公式を理解する!

まずは覚える前に理解してください。覚えなくていいとは言ってませんよ。いスカートずれ覚えてもらいますが、理解するところから始めます。

 

乗法公式の理解なく、展開や因数分解の力をつけることはできません。

 

具体的には…

一つ一つ乗法公式を丁寧に見ていくんですが、それにも順番があります。

 

(x+y)(x−y)=x2−y2

(x±y)2=x2±2xy+y2

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

 

必ずこの順番を守ってください。損はさせません(笑)

 

(x+y)(x−y)=x2−y2

なぜこれを最初に勉強するのかと言うと、一番特徴的だからです。

かっこを外した式の項(数字と文字のかたまり)が2つしかないですよね?

△鉢の式は項が3つあります。

 

よくわからないことは、とりあえず一番特徴があるものから勉強していくのが良いです。

 

展開してみよう

,亮阿帽爐2つしかない理由は、展開をしてみるとわかります。

 

公式に頼らず前から順番に計算していくと、

(x+y)(x−y)=x2-xy+xy-y2 

となって、-xyと+xyが消し合ってなくなってしまうんです。

 

結果、

(x+y)(x−y)=x2−y2

となります。

 

因数分解するときは

項が2つしかなかったら、まずは「二乗ー二乗」になっていることを確認してください。

 

そして、

女子生徒

何の2乗だろう?

と考えてほしいんです。

 

項が2つしかない因数分解の問題は、

 

x2−y2=(x+y)(x−y)

mx+my=m(x+y)

 

この二つのパターンのどちらか、もしくは複合問題しかありません。

 

いいですね?

項が2つしかなかったら、共通因数が付いているか、二乗ー二乗のどちらかです。

 

これでまず、1つめのパターンクリアです。

 

(x±y)2=x2±2xy+y2

次は、これです。

 

項は3つ、特徴は左右の端っこの項がどちらも二乗になっていることです。

 

展開してみよう

これもまずは一度展開して、式の構造を確認しておきましょうか。

 

やはり、公式に頼らずに解くなら…

(x+y)2=(x+y)(x+y)

    =x2+xy+xy+y2

 

となり、同類項をまとめると、

(x+y)2=(x+y)2=x2+2xy+y2

となります。

 

因数分解するときは

項が3つあったら、まず確認するのは右端と左端の項。

どちらもが、何かの二乗になっていないかチェックしてください。

 

何かの二乗になったら、それを小さくメモすることをおすすめします。

こんな感じで…

 

次に、真ん中の項に注目してください。

男子生徒
右端と左端の積の2倍になっていないかな?

と思って見てほしいんです。

 

もし、なっていたら

(x±y)2=x2±2xy+y2

この形の式に因数分解できる、ということです。

 

 

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

さあ!最後の公式です。

 

項は3つ。特徴は…ありません💦

 

「文字式で見るとわかりにくくて嫌」という人が多い式です。

でも使用頻度の高い公式なので、マスターしてくださいね。慣れれば大丈夫ですから。

展開してみよう

何はともあれ展開してみましょうか!

 

今回も、公式を無視して地道に展開してみると…

(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab

 

となり、同類項をまとめると…

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

という、なんとも見にくい公式になります。

 

数字で考えてみましょうか。

 

(x+2)(x+3)=x2+2x+3x+6

       =x2+5x+6

となりますね。

 

真ん中の項は、2と3を足してxをかけた形になっています。

 

因数分解するときは

・左端と右端が何かの二乗になっていなかったとき。

・左端と右端が二乗だけど、真ん中がその2倍になっていなかったとき。

 

そんなときは、この公式の出番です。

(x+a)(x+b)のaとbが何かを考えることが、この公式の因数分解のポイントです。

 

まず、右端の数を見てください。

ここは、aとbのかけ算の結果です。

 

 

さっき展開した結果を見てみましょう。

x2+5x+6

 

右端が6だったら、a,bの組み合わせとして考えられるのは1と6、2と3、-1と-6、-2と-3ということになります。

 

次に真ん中の項を見てください。

 

真ん中の項の係数は、aとbの足し算の結果です。

かけて6になる数字の組み合わせの中で、足して5になるのは2と3ですよね。

 

つまり、

x2+5x+6=(x+2)(x+3)

となります。

 

難しいですか?

これでも、符号が+の式を考えたので簡単な方なんですよ。

 

−があると更に複雑です。マイナスがあるバージョンは、また別に詳しく解説しましょう。

 

まとめ

とりあえず、これで乗法公式の特徴をすべて見てきました。

どうでしょう?理解できているといいんですが…。

 

因数分解が得意になるステップ その2

パターンを判断する!

次に出題された式にどの公式を使ったらいいのか、パターンを判断する練習をします。

問題は解いても、解かなくても構いません。

 

ステップその1で理解した公式の順に判断をしていきます。

 

々狄瑤2つか3つか

 →項数が2つで二乗ー二乗なら、x2−y2=(x+y)(x−y)

 

項数が3つあるとき、右端と左端が二乗

 →真ん中の項が右端×左端の2倍になっていたら、x2±2xy+y2=(x±y)2

 

  →真ん中の項が右端×左端の2倍になってないなら、

(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

 

9狄瑤3つあるとき、右端と左端が二乗じゃない!

 →右端はかけ算、真ん中の係数が足し算。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

 

無意識に因数分解のパターンを判断できるようになれば、因数分解のマスターも後少しです!

 

因数分解が得意になるステップ その3

練習あるのみ!

最後の最後に力技ですが、十分な演習量をこなしてください。

ステップ2まで出来るようになると因数分解できるようになった気になってしまうんですが、大事なのはミスなく解くことです。

 

「わかったつもり」が一番危ないですからね。

何も考えないでも自然に解けるようになるくらい、練習してくださいね!

 

 

以上、因数分解を克服する3つのステップでした。

読むだけではわからないなぁ…という方は、コチラからお問合せくださいね!

 

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