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【大学入試】理系プラチカ第6問のポイント解説

 解法

こんにちは
太秦教室の白石です!

国公立大学の前期入試の合格発表も終わり、”新”高校3年生の受験シーズンがいよいよ始まりましたね。
共通テストの導入もあり大変な戦いになるでしょうが、本当に大切なことは変わりません。
これから頑張ってやっていきましょうね。

では、プラチカ第6問のポイント解説です!

 

 

 

 

 

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第1章|二次関数
No.6 [大阪教育]

-2≦x≦2の範囲で、関数f(x)=x2+2x-2 , g(x)=-x2+2x+a+1について、次の命題が成り立つような a の範囲をそれぞれ求めよ。

(1)すべてのxに対して、f(x)<g(x)
(2)あるxに対して、f(x)<g(x)
(3)すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)
(4)ある組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)
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ポイント

今回はなかなか骨の折れる問題でした。
「すべてのx」とか「あるx」といった表現がどういう条件を表しているのかを考えていきます。
いつものように、状況を図示しながらすすめていきます。

またここでは、h(x)=g(x)ーf(x)=-2x2+ a +3 として関数の上下関係を考えていきます。
このように解答中で何度も使う関数の計算式は別の関数に置き換えてやると解答が簡略化できて時間短縮にもつながります。
最初のうちは思いつかないかもしれませんが、習熟が進んでくると問題を解き始める前にそういった勘が働くようになるのです。

ワンポイント解説

 

[イメージ図]

 

 

 

(1)すべてのxに対して、f(x)<g(x)

[イメージ図]のように、それぞれのxについてg(x) >f(x)であればよいので
この問題の条件は、

-2≦x≦2の範囲で、つねにh(x)>0が成り立つ

よって、h(-2)=h(2)>0 ⇔ -8+ a +3>0  ∴ a > 5

 

(2)あるxに対して、f(x)<g(x)

今度は、たとえf(x)>g(x)となるxが存在したとしても、1つでもf(x)<g(x)を満たすxが存在すればよいことになります。
ゆえに、この問題の条件は、

h(x)の最大値をMとするとき、M>0が成り立つ

よって、M=h(0)= a +3>0  ∴ a > -3

(3)すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)

つづいて、すべての組x1,x2について考えていきます。
このとき、[イメージ図]のようにf(x)とg(x)の最大値・最小値を考える必要があることに気付きます。
そこで、f(x)とg(x)の最大値・最小値をそれぞれMf,mf,Mg,mgとしておきましょう。
すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ条件は、

mg > Mfが成り立つ

よって、a-7 > 6  ∴ a > 13

(4)ある組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)

最後は、(2)と(3)を合わせたような問題です。
どの組み合わせでもいいので、1か所でもf(x1)>g(x2)を満たす組があればいいので、考えるべき条件は

Mg > mfが成り立つ

すなわち、a + 2 > -3  ∴ a > -5

 

答案例

 

 

 

今日はここまで!
次回は、2次関数編の最終回です。

以上、白石でした。

 

 

理系プラチカ解説シリーズ

【大学入試】国公立大学に受かりたい人の数学勉強法

【大学入試】理系プラチカ第1問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第2問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第3問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第4問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第5問のポイント解説!

 

 

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