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【2020京都高校入試】令和2年度公立高校中期入試 数学 第2,6問解説

 高校受験情報(京都府)

2020年度(令和2年度)、数学は少し傾向に変化がありました。第2問に驚いた人が多いのではないでしょうか?もともと複雑な確率問題が出題されることが多かったので、対策をしてきた人は解けたかもしれませんが、それでもサイコロを振った後にもう一つ操作をするという問題に慌てたのでは?

 

今回は、大問2と大問6の解説をしたいと思います。

 

第2問

この問題はよくある定番の問題……というわけではなく、限られた時間で新しいルールを把握しないといけないので焦ってしまいがちです。しかしよく考えれば案外簡単に解けるので、落ち着いて取り組むことが大切です。

解説

さいころを2回投げる問題なので全事象は36通りあります。極端な話、この36通りをすべて書き出せば確実に解けますが、今回はさいころの目がそのまま問題になっていません。出た目を文字に変換しなくてはいけないので時間がかかる可能性があります。問題で問われているパターンを直接考えましょう。

 

(1)

〈操作〉を2回行うとありますが、実は1回目の結果はあまり関係ありません。1回目の〈操作〉で下から7段目にある「G」が選ばれることはありませんよね。1回目の<操作>が終わった時点で、「G」は絶対に下から6段目にあります。つまり、1回目の〈操作〉の結果に関わらず、2回目の<操作>で、<6>が出ればいいということです。

 

1回目が1で2回目が6

1回目が2で2回目が6

1回目が3で2回目が6

と考えていくと、全部で6通りあります。よって、確率は6/36=1/6が答えになります。

 

(2)

2回目の〈操作〉をおこなったあと、Eの積み木が下から4番目にあるには

()1回目の〈操作〉のあとに、Eの積み木が下から4番目にあり、2回目の<操作>の後もそのまま下から4番目にある場合

()1回目の〈操作〉のあとEの積み木が下から5番目にあり、2回目の<操作>でEの下の積み木が上に移動しEが下から4番目になった場合

この2つの場合に絞られます。

 

()1回目の〈操作〉のあとEの積み木が下から4番目にある場合

1回目の〈操作〉で<1,2,3,4>のいずれかの目が出て、「E」が下から4段目に移動し、2回目の〈操作〉で<5,6>のいずれかの目が出て、Eの上の積み木が移動する場合なので、4×2=8通りです。

 

()1回目の〈操作〉のあとEの積み木が下から5番目にある場合

1回目の〈操作〉で<6>の目が出てEが下から5段目に残り、2回目の〈操作〉で「1,2,3,4」のいずれかの目が出る場合なので、場合の数は1×4=4通りです。

 

()と()の各場合を合わせると、同時には起こらないので最終的に求める場合の数は4+8=12通りとなり、確率は1/3が答えです。

第6問

こちらは典型的な規則性の問題ですが、なかなか骨の折れる問題でした。

解説

タイルA・Bの面積はいずれも1なので、図形の面積はタイルの合計枚数に等しいということが出来ます。この手の問題では、(1)はタイルを増やして実際に書いてみましょう。書くうちにルールを探しましょう。

問題用紙には5番目まで図形の図が書かれているので、6番目以降の図を書きながら表の数字を書き足していきます。

 

7番目までは気合で図を書いてもいいと思います。とりあえず、これで7番目の面積はわかりますね。

 

16番目は…書くのは大変ですよね。7番目まで書き足した表を見て、どのような増え方をしているか差と平方数に注目して規則性を考えましょう。規則性の問題では、差と平方数(何かの二乗になっている数)がないかを探すのがポイントです。

 

すると、奇数番目の面積が平方数になっていることに気が付きます。

1番目 面積1

3番目 面積4

5番目 面積9

7番目 面積16

 

では、偶数番目の面積はどうでしょう?1つ手前の図形の面積と関連付けて考えてみると…

2番目 面積2=1+1

4番目 面積6=4+2

6番目 面積12=9+3

 

規則性に気が付きましたか?n番目の図形(n=偶数)では、nを2で割って二乗した数と、nを2で割った数の和になっています。

 

16番目の図形の面積を求めるときは下のような式になります。

16÷2=8、 8×8+8=72

 

よって、7番目の図形は16平方センチメートル、16番目の図形は72平方センチメートルです。

 

(2)

では、(1)で考えた面積の求め方をもとにして、(2)を考えていきましょう。

nが偶数なのでn番目の図形の面積は…

(n /2)×(n/2)+n/2

という式でもとめることができます。

 

では、2n+1番目はどうかというと、2n+1番目は奇数番目になりますね。

奇数番目の面積は、平方数になっていることは(1)で出しました。では、何の平方になっているのかというと、1番目なら2の1/2の二乗、3番目なら4の1/2の二乗、5番目なら6の1/2の二乗になっているのがわかりますか?

 

つまり、2n+1番目なら、(2n+2)の1/2の二乗ということになりますね!

 

(2n+1)番目の面積ーn番目の面積=331という方程式を作ってみましょう。

 

{(2n+2)/2}×{(2n+2)/2}-{(n /2)×(n/2)+n/2}=331

 

PCで打つととてもややこしく見えると思いますが、紙に書いて解いてみてください。

n=20,-22という解が得られますね。マイナスになることはありえないので、答えは22番目の図形ということになります。

 

講師
今年の規則性も、難しかったですね。 規則性に関しては年々レベルが上がっている気がします。受験生の皆さん、お疲れ様でした。

この文は尾花が書きました。

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