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【大学入試】理系プラチカ第5問のポイント解説

 解法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

ずいぶんと間が空いてしまいましたが、プラチカ第5問のポイント解説です!

 

 

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第1章|二次関数

No.5 [岐阜大]

2次方程式 mx^2-x-2=0 の2つの実数解が、それぞれ以下のようになるための m の条件を求めよ。

(1) 2つの解がともに-1より大きい。

(2)1つの解は1より大きく、他の解は1より小さい。

(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい。

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ポイント

地方国公立大らしい、典型的な解の配置問題ですね。

二次方程式の左辺を関数f(x)とおいてy=f(x)のグラフを考えることがこの問題のカギになります。

 

そのうえでこの問題を解くポイントは3つあります。

場合分けの数を減らす

条件を図示する

解答の工夫をする

 

場合分けの数を減らす

問題文の冒頭に「2次方程式 mx^2-x-2=0 の2つの実数解が……」とあります。

一見なんの変哲もないリード文に見えますが、これは暗に「m≠0」という条件を提示しています。

この問題で扱うのは「2つの実数解」をもつ2次方程式だということを示しているのです。

仮に「方程式 mx^2-x-2=0 の実数解が…」というリード文だと、m=0の場合、

つまりグラフが直線になる場合についても検討しなくてはいけないことになります

(レベルが高くなると、あえてm=0の場合を排除しない問題もありますので、注意してください。)

 

さて、m≠0ということが分かるとさらに場合分けを減らすことができます。

つまり、

mx^2-x-2=0 ⇔ x^2-x/m-2/m=0 (∵m≠0)

このように変形できるので、mの値の正負によらず下に凸のグラフだけを考えればよいことになります。

もし、この変形をしなかったらmの値の正負によって上に凸のグラフと下に凸のグラフの両方を検討する必要がありますが

同じ結果になることは想像しやすいのではないでしょうか。

解答時間の短縮という意味でもこの式変形は絶対に行ってください(m≠0に気付けば必然的に変形したくなります)。

 

よって、ここから先は

 f(x)=x^2-x/m-2/m

として考えていきます。

条件を図示する

次に条件を図示していきます。

(1)について、

x^2-x/m-2/m=0が x>-1の範囲で2つの実数解をもつということは、

「y=f(x)のグラフがx>-1の範囲でx軸と2点で交わる」というように言い換えることができます。

これを図示すると以下のようになります。

これによって、

[1]軸:1/2m>-1

[2]頂点のy座標 ≦ 0

[3]f(-1)>0    という条件を見いだせるのです。

あとはこれらのmに関する連立不等式を解けば求めるmの範囲をがわかります。

 

(2),(3)についても基本的な流れは同じです。

各設問について、どのような条件を満たせばよいかを考えるのですが、

だいたいは

ー瓦琉銘

頂点のy座標

F団蠅裡の値に対するyの正負(判別式Dの正負)

を考えることが多いです。

そんなことも頭に入れながら進めてみてください。

解答の工夫をする

ここからは、問題の解法と直接関係のないお話になります。

国公立大学の2次試験では、基本的に記述式の解答用紙が採用されています。

そして、白紙の回答用紙に解答を記述する場合も少なくありません。

大問ごとの解答欄は区切られていますが、どの小問をどこに解答するかは自分で決めなくてはいけません。

逆にいうと、工夫して記述を省力化することもできるのです。

 

この問題の場合は、(1),(2),(3)それぞれの場合について判別式Dや軸の式について検討しなくてはいけません。

特に頂点のy座標については3つとも同じ条件になるので、最初の計算結果を流用すればいいのです。

 

そうすると下の解答例のような書き方になるのですが、これには問題に取り掛かる段階で

ある程度の見通しをもって書き始めなくてはいけませんし、そこについては、習熟度を上げるほかないのかもしれません。

 

 

[解答例]

以上のポイントを踏まえて作成した解答例がコチラです。

 

 

今日はここまで!

次回も、引き続き2次関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

以上、白石でした。

理系プラチカ解説シリーズ

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