You-学舎は、大阪(茨木・南茨木・千里山)、京都(西院・太秦)の個別指導・学習塾です。

【数学超難問】過程を知るだけで確率は変わる!?【モンティホール問題】

 千里山教室

JUGEMテーマ:教育

 

どのような過程があったとしても、確率には影響しない。そう思っていませんか?

実はこれは間違いです。過程を知ることで、確率に影響を与えるとされています。

直感では必ず間違える問題

数学はひらめきだ、と言っている人は、これから紹介する問題は確実に間違えます。解き方に頼っても無理です。

直感や感覚的に解くことも必要な場合はありますが、数学の基本は「論理的な思考」と「言語的な理解」です。

しっかりと考えて解いてみましょう。

問題

今、三つの扉があります。

1つはあたりの扉で、残りの2つはハズレの扉です。

まずは、あなたが一つの扉を選びます。その後、ハズレの扉が一つ開けられます。

この場合、あなたは、選んだ扉を変えるほうが良いか、変えない方が良いか、どちらでしょうか?

 

答え

どちらでも一緒

 

 

 

 

だと思った人が多いのではないでしょうか?

変える、変えないの二択と思わせといて実は違うパターンだろって思ったのかもしれませんが、今回は違います。

確率的に考えると、ちゃんと差が出るんですよ。

 

で、どちらが当たりやすいかというと、扉は変えた方が当たりやすくなります。

どれくらい当たりやすくなるかというと、変えないときの2倍も当たりやすくなります。

 

結局2択になっているのに、なんで2倍!?って思いますよね。

これからじっくり解説していきます。

解説

類題での確認

まずは、少し似ている問題で、確認します。

三つの扉があります。

1つがあたりの扉で、残りの2つはハズレの扉です。

ハズレの扉が最初から一つ開いています。今あなたがあたりの扉を選べる確率はいくつでしょうか。

この問題であれば、残っている扉は二つです。当然、あなたがあたりの扉を選ぶ確率は2分の1です。

 

一見すると、最初の問題文とこの解説の状況とは同じように思えますが、実は違います。

今の問題では、最初から2択です。

最初の問題では、はじめは3択から1つ選び、その後でハズレを教えてもらうことで2択になり、そこからもう一度選択をするのです。

「扉が二つという状況のでき方が分かっている」ということが、確率に影響するのです。

考え方

問題のポイントは、一番最初の選択です。

一番最初の選択では、あたりを選べる確率は3分の1です。

それに対し、ハズレを選ぶ確率は3分の2です。

これを頭に入れて、二回目の選択を考えます。

 

最初の選択の後に、ハズレを一つ教えてもらってから扉を変える場合、最初の選択で「あたり」だった場合はもう一つの「ハズレ」を選ぶことになります。逆に「ハズレ」を選んでいた場合は、のこりの「あたり」を選ぶことになります。

最初に選んだのが「あたり」なら二回目に「ハズレ」、最初「ハズレ」なら二回目に「あたり」ということです。最初に選ぶ確率が高いのは「ハズレ」なので、選択は変える方が良い。ということになります。

 

 

 

いかがでしょうか?

これ、正直言うと、私も最初は2分の1じゃねーの!?ってなりました。

大学入試などでも似たような問題が問われるようなことがあります。

言っていることはシンプルなのですが、実はややこしい。

そういう問題が実は数学では一番難しいのです。

数学で大事なのは、センスでもひらめきでもなく、考える力。ということですね。

 

 

この記事は瀧本が書きました。

地域オンライン