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【大学入試】理系プラチカ第4問のポイント解説

 解法

 

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

今日も、前回に引き続きプラチカのポイント解説をしていきます!

 

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第1章|2次関数

No.4 [東北学院大]

a を定数とし、2次不等式 (x-a^2)(x+a-2)≦0 … を考える。

(1) ,鯔たす x がただ1つ存在するように a の値を定めよ。

(2) ,硫鬚 1≦x≦3 となるように a の値を定めよ。

(3) 1≦x≦3 ならば常に成り立つような a の値の範囲を求めよ。

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今回も2次不等式の問題です。

x に関する不等式について考えつつ、最後に答えるのは定数 a の値の範囲なので間違えないようにしてください。

 

ポイント 2次関数のグラフと不等式の解の関係性を考える

今日のポイントはこの1点だけですが、非常に重要です。

2次関数のグラフの意味をきちんと理解することで、

さまざまな問題が楽に解けるようになるので、ぜひ身につけてください。

 

 

考え方

この2次関数のグラフは、下に凸の放物線を描きます。

また、x 軸は 1次関数 y=0 のグラフであるともいえます。

つまり、2次不等式 f(x)≦0 の解とは

「関数 y=f(x) のグラフが 関数 y=0 のグラフ (つまり x軸)より下になるか共有点をもつ x の範囲」に等しいといえます。

(1)の考え方

(1)では、,硫鬚たった1つになるということですから

関数 y=f(x) のグラフが x軸に接する場合ということになります。

つまり、x軸との交点は1つのみということになります。

x軸との交点の座標が一致する a の値を求めましょう。

 

こんな風に、問題文に直接的に書いていなくとも

2次関数の特性から与えられる条件が隠れているケースも多くありますので

そこを見落とさないようにしましょう。

 

(2)の考え方

(2)からは、場合分けが必要になります。

 

なにを基準に場合分けするかというと、

2つの x軸との交点(a^2 と -(a-2)^2)のうちどちらが大きいか、ということです。

a の値によってどちらが大きいかが変わりますので注意してください。

 

(3)の考え方

等号の有無や答えとなる a の値の範囲のとり方に注意しましょう。

もしプラチカの解説を読んでも、分からない場合は一度青チャートに戻ってください。

青チャートの例題121でも取り上げられているタイプの問題なので復習しましょう。

 

応用できる力を身につける

ちなみに、今回載せた解答例はプラチカの解説書には別解として扱われています。

このようにグラフをイメージして解けるようになると、どのような二次不等式にも対応できるようになります。

初見の問題にその場で対応する入試(特に国公立二次試験)では、いかに知っている知識を応用できるかが合格不合格を分けます。

 

プラチカには別解が記載されていることが多いので、かならず別解も読んで解法のパターンをたくさんストックしておきましょう。

 

 

最後に、白石が解いた解答を載せておくので参考にしてください。

 

 

今日はここまで!

次回も、引き続き2次関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

以上、白石でした。

 

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