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【大学入試】理系プラチカ第3問のポイント解説

 解法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今日は、前回に引き続いて理系受験生 必携のプラチカのポイント解説をしていきます!

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第1章|二次関数

No.3 [摂南大]

xについての2次不等式 x^2-(a+1)x+a<0 , 3x^2+2x-1>0 を同時に満たす整数 x がちょうど3つ存在するように

定数 a の値の範囲を定めよ。

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ポイント

この問題を解くポイントは3つあります。

定数 a を含む2次不等式を解く

2つの2次不等式の解の共通範囲を求める

a の値の設定

 

定数 a を含む2次不等式を解く

xについての2次不等式に定数 a が含まれている場合、

その定数 a の値に注意して場合分けをする必要があります。

具体的には、x^2-(a+1)x+a<0 の左辺を因数分解すると (x-a)(x-1) となります。

ここで、a=1のときは (x-1)^2<0 となり解はありませんので、

定数 a が1より大きいか小さいかで場合分けをします。

() a>1 のとき、1<x<a

() a<1 のとき、a<x<1

 

2つの2次方程式の解の共通範囲を求める

もう一方の2次不等式の解は、x<-1,1/3<x となるので、先ほどの解との共通範囲を求めます。

x に関する数直線を書くとわかりやすいのでそれを利用します。

記事の最後に添付している解答例にあるように図を書きます。

判明している数の大小に気を付けながら共通範囲を書きだします。

 

a の値の設定

最後に、「満たす整数 x がちょうど3つ存在する」という条件から a の値を定めます。

それぞれの場合について調整していくのですが、ここでも注意すべき点があります。

整数をちょうど3つ含むために a がどこに(どの2整数の間に)配置されるかがわかったら

いよいよ定数 a の範囲を絞り込んでいきますが、ここで注意したいのが等号のつけ方です。

解答例を見てください。

() の場合では定数 a は4と5の間にありますが、ここでこの区間端が範囲に含まれるのか否かが問題になります。

つまり、使う記号が「<」なのか「≦」なのかを考えなくてはいけないということです。

理解が進んでいる人にとってはなんということもない吟味なのですが

まだ慣れていない人はここで混乱してしまうことがよくあります。

 

見分けるポイントはひとつです。

その整数を解として認めた場合に「満たす整数 x がちょうど3つ存在する」という条件をクリアできるか、です。

この場合、a=4 を解に含めると 2次不等式の解が1<x<4 となり、満たす整数が2つになる可能性がうまれてしまいます。

またa=5 を解に含めなかった場合、2次不等式の解に1<x<5 となる場合が含まれず漏れてしまいます。

したがって、a の範囲は 4<a≦5 となるのです。

 

このあたりの議論については、青チャートの重要例題107にも

同じ問題が紹介されていますので参照してみてください。

 

[解答例]

 

【大学入試】国公立大学に受かりたい人の数学勉強法

【大学入試】理系プラチカ第2問のポイント解説!

 

 

今日はここまで!

次回も、引き続き2次関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

以上、白石でした。