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【大学入試】理系プラチカ第2問のポイント解説

 高校生の勉強法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今日は、前回に引き続いて理系受験生 必携のプラチカのポイント解説をしていきます!

 

前回の記事を書きながら、考えたことがあります。

塾の先生として高校生に数学を教えるようになってからは

数学の問題をより構造的に解くことができるようになったのです。

 

つまり、問題を一目見ただけで

・その問題のパターン

・注意して議論すべきポイント

・必要十分な記述

これらが瞬時にわかるようになったのです。

 

もちろん、高校を卒業して劇的に頭がよくなったわけでもないので

単純に問題に触れる回数が増えたこと人に教えるという作業を繰り返したこと

大きなポイントになっているのではないかと思います。

 

高校生のときに、もっと問題を解いて自分の言葉で人に解説していたらなぁ…と思います(笑)

逆にいうと、いま高校数学を学んでいる生徒のみなさんにとって最も大事なことだと思います。

この記事では、なるべくそういうポイントに照準を絞って書いていこうと思うので、

是非参考にしてください‼✎

 

では、今回解説する問題はコチラです↓↓

______________________

第1章|二次関数

No.2 [宇都宮大]

aを定数とするとき、2次関数y=x^2-2ax+2a^2について

(1) 区間 0≦x≦2 におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ。

(2) 区間 0≦x≦2 におけるこの関数の最小値が20であるとき、aの値を求めよ。

______________________

 

ポイント

この手の問題は、非常にオーソドックスな最大値・最小値の問題です。

プラチカに取り組んでいる人なら、瞬時に解法が思いつくでしょう。

(この問題に手が出ない人は、青チャート毅p118の例題74を参照してください。)

 

場合分け

この問題も、例によって場合分けが必要になります。

最初に与式の右辺をf(x)とおき

f(x)=x^2-2ax+2a^2=(x-a)^2+a^2 と変形しておきましょう。

 

 

最大値をM,最小値をmと表すことにすると、場合分けは↑のようになります。

軸x=aがグラフのどの位置にあるかによって、最大値・最小値はこれらの4パターンをとります。

 

最小値は区間内に軸を含むか否か、最大値は軸が区間端のどちらに偏っているかによって決まります。

それらをうまく整理して漏れなくダブりなく分類できるように心がけてください。

 

よって、それぞれの場合のM,mは以下のようになります。

 

() a≦0 のとき

  M=f(2)=2a^2-4a+4   m=f(0)=2a^2

 

() 0≦a≦1 のとき

    M=f(2)=2a^2-4a+4   m=f(a)=a^2

 

() 1≦a≦2 のとき

    M=f(0)=2a^2            m=f(a)=a^2

 

() 2≦a のとき

    M=f(0)=2a^2            m=f(2)=2a^2-4a+4

 

(2)では、それぞれのmについてm=20を解くとそのときのaの値を求めることができます。

ただし、ここで絶対に忘れてはいけないことがあります。

 

解の吟味

そう、解の吟味です。

 

たとえば、

()について、m=20より 

2a^2=20 ∴a=±√10 となりますが、条件より a≦0 なので、解として使えるのはa=-√10 のみです。

 

(髻()のとき(0≦a≦2では)

a^2=20   ∴a=±2√5 となりますが、0≦a≦2には当てはまらないのでこの場合、解はありません

 

同様に、()のときは a=4 が解となります。

 

したがって、この問題の答えは a=-√10,4 の2つです。

 

 

 

まとめ

〇最大値・最小値の問題は超基本!絶対に失点しない。

〇場合分けは、漏れなくダブりなくが鉄則!

〇どんなときでも解の吟味は忘れない!

 

 

今日はここまで!

次回は、連立2次不等式の問題を扱います。

授業をしていてもここでつまづく生徒が多いように感じますので、

気合いを入れてやっていきます!

 

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それでは今回はこの辺で〜〜