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【大学入試】理系プラチカのポイント解説!

 太秦教室

 

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今回は、理系高校数学ABのプラチカを解説していきたいと思います!

 

プラチカといえば、大学受験の定番中の定番で私自身も高校生の時にはお世話になりました。

全国の大学の2次試験で出題された良問を単元ごとに取り揃えており理系の受験生は必ずマスターしておきたい1冊です。

 

そこで、このブログではプラチカの問題を解説しながら、基礎的な事項や注意すべき点などにも述べていきます。

また、必要に応じて青チャートの問題も抜粋して紹介していこうと思います。

(※青チャートは、用語の定義や公式を確認したりパターン問題の解放をおさらいしたりするために使います。)

 

前置きが長くなりましたが…

プラチカ第1章からはじめましょう!

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第1章|2次関数

No.1 [名城大]

2次関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は区間0≦x≦3における最大値が3,最小値が-5である。

このとき、a,bの組をすべて求めよ。

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ポイント

まず、この問題をパッと見たときに気を付けなくてはならない点があります。

それは、aの正負がわからない ということです。

つまり、aの正負によってグラフが上に凸か下に凸かが決まり、最大値・最小値をとる点が変わります。

なので、aの範囲について以下のように場合分けしてやる必要があります。

() a>0のとき

() a<0のとき

 

あれ? a=0のときは考えなくていいのでしょうか?

実は、"この問題では"考えなくても大丈夫です。

なぜかというと、問題文をよく見ると…

2次関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は…」

そうです。f(x)は2次関数なのです(つまり、a≠0)。

問題文に直接的には書いてありませんが、関数f(x)を2次関数に限定することで暗にa≠0という条件が付けられていたのです。

逆にいうと、問題文が「関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は…」となっている場合では、

a=0の場合も考えなくてはいけないので要注意です!!

 

無事に(?)場合分けができたところで、実際に最大値と最小値を考えていきます。

 

() a>0のとき

f(x)を平方完成して軸 x=1を求め、グラフをかくと以下のようになります。

 

このとき、区間0≦x≦3では、x=3で最大値を、x=1で最小値をとることは明らかです。

よって、最大値 f(3)=3 ,最小値 f(1)=-5 の連立方程式を解けば答えとなるa,bの組が出てきます。

※このとき、導いた答えが条件(a>0)を満たしているかを必ず確認しましょう。

 

つづいて、

()a<0のとき

 

()と同様に、x=1で最大値を、x=3で最小値をとることが分かります。

再度 連立方程式を解き、解の吟味をすれば完了です!

 

詳しい答案の記述方法はプラチカの解答編を見てくださいね。

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【おさらい】

〇x^2の項の係数に文字が含まれていたら、その正負をチェックする!

〇場合分けができたら、グラフの概形を描く

〇解がでてきたら、必ず吟味をする

 

 

解説について

ここでは、問題の本質や解き方の指針に着目しています。

したがって平方完成や連立方程式の解法など基礎的な操作は端折って解説しています。

今回の問題に全く手が出なかった人や、途中でなにをすればわからなかった人は、

ぜひチャート式問題集などで復習してみてください。

おすすめ問題:青チャート p.122 例題77

 

それでは今回はこの辺で……

 

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