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【中3数学】九九の逆と素因数分解

 解法

JUGEMテーマ:教育

九九は皆さん小2のときに言えるように練習しましたよね。

では九九の逆は言えるようにしていますか?

九九の逆は言えるようにしていると結構役に立つので計算スピードを上げたい、分数の約分が苦手、平方根が苦手、という人は身につけておいて損はありませんよ。

九九の逆と素因数分解

九九の逆と分数

当たり前といえば当たり前ですが、これをサラッとできるようになれば、分数の計算が、かなり楽になっていきます。

最小公倍数、最大公約数を見つける際にも役立ちますよ。

 

素因数分解

数を素数の積で表す方法です。素数で割っていくのが通常のやり方ですが、九九の逆で書いていくこともできます。

九九と合わせる例

126の場合、偶数であるので、まず、2×63にします。63は九九の逆で7×9に、9を3×3にします。

126=2×63=2×7×9=2×7×3×3

 

そもそも、素因数分解をしていくには、何で割れるかが分からないといけないので、割れる数の判別の仕方は確認しておきましょう。

割れる数の判別

2の倍数

一の位の数が偶数であれば、2で割ることができます。

 

3の倍数

各位の数の和が3の倍数であれば3で割ることができます。

 

3の倍数で割れる例

・825の場合

8+2+5=15

3の倍数なので3で割ることができます。

 

・9153の場合

9+1+5+3=18

18は3の倍数なので3で割ることができます。

さらに、9の倍数であるので9でも割ることができます。

 

・105の場合

1+0+5=6

3の倍数なので3で割ることができます。

6の倍数の場合は6で割ることができるとは限りません。

 

4の倍数

基本的には2で2回割ることができれば、4の倍数です。

 

他の見分ける方法として、十の位までが4の倍数であれば、4の倍数になります。

100も4の倍数であり、千の位は100×10、万の位は100×100で表すことができます。

 

4の倍数の例

124=100+24

24は4の倍数なので、124は4の倍数です。

 

5の倍数

一の位が5か0であれば、5の倍数です。

 

6の倍数

偶数であるので、2の倍数であることが確かめられます。

その後に各位の数の和が3の倍数であれば6の倍数です。

 

7の倍数

簡単に確かめる方法がありません。

2〜6の倍数でなければ、7より大きい素数で割って確認していきましょう。

素数で地道に探す例

2639

一の位が9なので奇数、各位の和が 2+6+3+9=20で3の倍数でもありません。こういう場合は7,11,13と割れるものを探します。

 

 

平方根への利用

ルート計算などをするときは、素因数分解や、九九の逆をやる癖をつけておくと、ルートの外に出し忘れることも減るのでお勧めです。計算の順番も考えておくと、より良いですよ。

14×3×6=252

とするよりも、先にどういう数か分かりやすくします。

14×3×6=2×7×3×2×3=2×2×3×3×7

としておくと、計算が続く場合に使い勝手が良いですよね。特に割り算などがある場合には計算がしやすくなりますよ。

 

 

ルートの計算に苦戦している人は、一度九九の逆がぱっと言えるか確認してみましょう。

一人でやるのは難しいので友だちや先生に問題は出してもらいましょうね。

 

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この記事はたきもとが書きました。

 

 


【基礎英語】はじめての英作文(中級編)

 解法

JUGEMテーマ:教育

英語はシンプルに考えよう

前回の英作の続きです。

  • 英語の基本的な語順
  • be動詞と一般動詞の使い分け

「これらができていて、文法事項はわかっているんだ」という人はそのまま進みましょう。

まだ不安がある人は、まず初級編を見てください。

講師

難しい表現はなるべく使わなくて済むように、考えた日本語を、簡単な文章にすることが必要です。

 

日本語を英語で表現しようとすると、どうしても難しいときがあります。

その場合は、自分の使える単語から言い換えることができないかを考えましょう。

【レベル3】助動詞

基本の文章の作り方

助動詞の文章を書く際に気をつけることは、和文の最後です。

彼はピアノを弾くことができます。

最後に「〜できます」とあるので、これは助動詞の「can」を使う文章です。

助動詞の部分を日本語の文から抜いて、シンプルな文として考えます。

彼はピアノを弾きます。

動作を表す語句があるので、一般動詞を使う文章です。

 

主語が三人称単数なので、一般動詞に「s」をつけます。

「私」を一人称、「あなた」を二人称、それ以外全てを三人称といいます。

He plays the piano.

助動詞を主語の後ろに置きましょう。

「〜弾けます」は「弾くことができる」と言うことなので、助動詞の「can」を使います。

He can play the piano.

助動詞を使う肯定文の文章では、主語の後ろに助動詞が来ます。

 

その後ろに来る動詞は原形になります。

例ではplaysだったので、原形のplayになっています。

 

否定文では、助動詞の後ろに「not」が入ります。

He cannot play the piano.

疑問文では、助動詞を前に出します。

Can he play the piano ?

このように、助動詞があるかないかで、文章の作り方が決まるので、助動詞は覚えておきましょう。

おもな助動詞
  • will:〜するでしょう。〜つもりです。(未来)
  • can:〜できる(可能)、〜かもしれない(推量)
  • may:〜かもしれない(推量)、〜してもよい(許可)
  • must:〜に違いない(推量)、〜しなければいけない(義務)
  • must not:〜してはいけない(禁止)
  • should:〜すべきである(義務)
  • shall:(疑問文で)〜しませんか?

※wouldやcouldも助動詞ですが、中学レベルでは使い方がほぼ決まっているため、ここではあえて入れていません。

書き換えなどで使われる助動詞的な役割を持つもの

助動詞としてではなく、あえて別で紹介します。

というのも、先に書いた「助動詞」の文の作り方「助動詞は主語の後ろに置き、否定文だとその後ろにnot、疑問文では助動詞を前に」が当てはまらないからです。

シンプルにするには助動詞のある文、ない文で、書き方をはっきりと区別することが必要です。

be動詞を使うもの
  • be going to:〜する予定です(willと近い意味になる)
  • be able to:〜できる(canと近い意味になる)

これらはbe動詞を使っているため、be動詞を使った文章の構造になります。

 

つまり、否定文にする際には、be動詞の後ろにnotが、疑問文にする際にはbe動詞を前に持って来ます。

toの後ろは原形の動詞が来ます。

一般動詞をつかうもの
  • have to:〜しなければならない(must)
  • don't have to:〜しなくてもよい(must not とは意味が異なる)

一般動詞を使っているため、否定文では主語のあとに「don't」を、疑問文では「do」を、主語の前に持って来きます。

toの後ろは原型の動詞が来ます。

 

【レベル4】疑問詞を使った疑問文

疑問詞
  • what:何が、何を
  • when:いつ 
  • where:どこで
  • who:だれが、だれと
  • which:どちらの
  • whose:だれの
  • how:どのように、どれくらい
  • why:なぜ
文章の作り方

自由英作ではあまり出番がありませんが、「下線部を訪ねる疑問文を作りなさい」というパターンは頻出です。

英語の語順「誰が」「どうする」「何を」「どこで」「いつ」を意識しつつ、実際に問題で出される形で確認していきましょう。

私は放課後、図書館に行きます。

まずは日本語を英語の語順に並び変えます。

私は行きます。図書館に放課後

I go to the library after school.

日本語を疑問文にします。

私は行きますか?図書館に放課後

「私」のままでは、勝手にしろよという話になってしまうので、「私」を「あなた」に変えます。

あなたは行きますか?図書館に放課後

Do you go to the library after school?

線を引いた箇所を前の前置詞ごと消します。

前置詞が無い場合はそのまま消して大丈夫です。

 

今回は場所を消したので、場所を尋ねる疑問詞「where」を先頭に入れます。

Where do you go after school?

どこへあなたは行きますか。放課後

これで完成です。

この疑問文の答えは、途中で出てきた肯定文の文章です。

私は行きます。図書館に放課後

I go to the library after school.

howをつかうパターン

「how」を使うパターンには、2通ります。

程度(物の大きさや、値段)を聞く場合と、方法を聞く場合です。

程度を尋ねる場合は how+形容詞+疑問文

この本は3000円です。

動作を表す言葉がなく、この本=3000円、なので、be動詞の文章です。

この本は〜です。3000円

This book is 3000yen.

疑問文にします。

Is this book 3000yen?

下線部を消して、金額を聞く「how much」を先頭に持っていきます。

How much is this book?

どれくらいの値段、この本は?

方法を尋ねる場合は how+疑問文

私は学校へ自転車で行きます。

まずは並びかえて英語にします。

私は行きます。学校へ、自転車で

I go to school by bike.

疑問文にします。

あなたは行きますか?学校へ、自転車で

Do you go to school by bike?

下線部を前置詞ごと消してHowを入れます。

How do you go to school?

どのように、あなたは行きますか?学校へ

疑問詞が主語になるパターン
主語として使われるおもな疑問詞
  • what
  • who

疑問詞が主語になる場合は、be動詞や一般動詞の疑問文の形を作る段階が必要なくなります。

be動詞の場合

ケンがこのクラスので一番背が高いです。

語順を並びかえて、英語にします。

ケンが〜です。一番背が高い、このクラスで

Ken is the tallest in this class.

この段階で下線部を消去します。

そして、その代わりに「who」を入れます。

Who is the tallest in this class?

誰がですか?一番背が高い、このクラスで

一般動詞の場合

がこの絵を書きました。

日本語を英語の語順にしてから、英語に直します。

が書きました。この絵を

He wrote this picture.

疑問文の形を作らずに下線部を消して疑問詞の「Who」を入れます。

 

一般動詞の疑問文の形にしないので「did」が入りません。

動詞も過去形のままです。

Who wrote this picture?

誰が書きましたか?この絵を

注意点

疑問詞は単数扱いなので、三人称単数のsを付けたり、be動詞は単数形にしたりします。

忘れないように注意しましょう。

  • They play the piano.
  • Who plays the piano?

 

【番外編】冠詞の使い分け

冠詞の基本

名詞の前に付くa / an / theなどを「冠詞」といいます。

a / anの使い方

「a / an」は、単数のものに付きます。

「an」を使うのは、単語の先頭に母音(a / i / u / e / oで作れる音)が来る場合です。

発音に関係するため、時間を表すhourの場合でも、an hourとなります。

theの使い方

theは特定の場所や物を指している場合に使います。

 

例えば「a park」だと一つの公園ですが「the park」だとある特定の公園を指す言葉になります。

一度話題に出てきたものに関しても、特定の物として「the」をつけます。

一つしかないものも、もともと特定されているので「the」をつけます。

地球:the earth

 

決まった表現として、「the」を使うものもあり、 楽器は「the」を使います。

I go to school. あれ?冠詞は?

「I go to school.」は冠詞がありませんが、正しい文章です。

しかし、これを使えるのは、学校の生徒です。

普段は学校に関係のない人が学校へ行く場合は、「I go to the school.」となります。

 

同じような構造を持っているものがあります。

I went to bed.

「私は寝た」と言うことですが、これは冠詞をつけると「ベッドに(寝る以外の用事で)行った」ということになります。

 

「学校は生徒が勉強する場所」、「ベッドは寝るためのもの」という具合に、その言葉の持つ性質のままの場合、冠詞をつけない場合があります。

誤って付けないように注意しましょう。

 

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この記事はたきもとが書きました。


【基礎英語】はじめての英作文(初級編)

 解法

JUGEMテーマ:教育

英語はシンプルに!

最近、私も英語の授業変化についていこうと、友人と英語でやり取りを始めてみました。

 

しかし、どうも返事に時間がかかることが多いです。

そこで、海外に住んで10年以上の友人に、英語で文章を書く際のポイントを聞いてみました。

男性

難しい文法・表現は使わなくていいんだよ。

シンプルに考えよう。

結局、私が普段生徒が英作をするときに言っていることと同じではないか、と反省しました。

日常会話も英作の問題も、やることはいっしょということですね。

 

そこで今回はシンプルに考えるとはどういうことなのか?

基本に立ち返って説明します。

本当に基礎の基礎から書いていきますので、「英作が毎回苦手で点数が全く取れない」という人は必見です。

「ちょっとは書けるぜ!」という人も、考え方の基本なので、復習と思って最初から読み進めていくことをお勧めします。

英語の基本の形

英語の基本の形を日本語をもとにして確認していきます。

基本の形の単語を入れ替えることで文章を作ることができます。

【レベル0】中学1年

まずは一番簡単な文章で確認です。

【例文】私は英語を勉強します。

この文章を区切り番号をつけます。

「私は、〜します。〜を」となるように番号をつけましょう。

私は/ 英語を/ 勉強します。

(1)  (3)   (2)

つけた番号の順番に並び替えます。

私は / 勉強します / 英語を

そして英語に訳します。

I study English.

このように英語では、日本語の主語、述語が最初に来るようになっています。

 

今回は本当に基本の文章だったので、「当たり前なこと」と思っているかもしれませんが、この「当たり前なこと」が大切です。

英語の文章は、文法という当たり前なことの積み重ねによって、できあがっていくのです

【レベル1】中学1年

レベル0は確認のため、非常に簡単な文章でしたが、次は少し複雑にしますよ。

【例文】私は学校で毎日、サッカーを練習します。

まずは、さっきと同じように切りましょう。

私は / 学校で / 毎日 / サッカーを / 練習します。

言葉を引いて、レベル0のような「私は○○をします」という文章を作ります。

引いたものはとりあえず後ろに置いておきます。

私は練習します。学校で毎日サッカーを

このあとに並べる順番ですが、基本的には、「何を」「どこで」「いつ」の順番に並べます。

私は練習します。サッカーを学校で毎日

これで、英語の語順になったので、あとは英語にするだけです。

I practice soccer at school everyday.

レベル1のポイントは、「私は○○をします」という文章を作ったあとに「何を」「どこで」「いつ」の順番に言葉を続けることです。

「どこで」と「いつ」はひっくり返しても伝わりますが、基本的にはこの順番で書くようにしましょう。

 

「いつ」に関しては「明日の3時」のように、2回以上出てくるときがあります。

この場合は、範囲の小さい方を先にします。

 

つまり、「3時 / 明日の」として英語にします。

at three o'clock tomorrow ということです。

【レベル2】中学1年

英作文では、現在・過去といった時制を気にする必要があります。

基本的にはレベル0、レベル1を気にしつつ、時制も気にするということになります。

 

過去形の場合は、動詞に「ed」をつける、もしくは不規則変化させるかです。

特に気をつけるのが、疑問文などの形です。

疑問文では「did」が過去の役割を持ってくれているのですが、動詞も過去形にしがちです。

 

ということで、疑問文もいっしょにやってしまいましょう。

【例文】あなたは公園で昨日写真を撮りましたか?

まずは日本語を肯定分に直します。

「あなた」は「私」に直した方が良いです。

私は公園で昨日写真を撮りました。

そこからの流れは同じです。

 

言葉を引いて、レベル0のような「私は○○をします」という文章を作ります。

引いたものは「何を」「どこで」「いつ」の順番に並べます。

私は撮りました。写真を、公園で、昨日

英語の語順になったので、あとは英語にします。

I took a picture in the park yesterday.

これを疑問文に直すので、Iはyouに直して、一般動詞の疑問文ではdidを前に置き、動詞を原形に戻します。

Did you take a picture in the park yesterday?

これで完成です。

 

考えている上では、一度肯定文に直し、疑問文にしています。

もちろん、いきなり疑問文を書けるようになれば、それが良いとは思います。

まずは、しっかりと段階を踏んで書いていくようにしましょう。

 

【番外編】be動詞と一般動詞の使い分け方

「be動詞」とは、is / am / are / was / were / (be)のことです。

「一般動詞」は、be動詞以外の動詞のことです。

 

be動詞と一般動詞は、動詞としては同時には使えません。

「I am study English.」などにはならないということです。

日本語で見分ける

私は中学生です。

この文章には、具体的な動作(勉強するや遊ぶ)がありません。

be動詞は、具体的な動作がない場合に使います。

 

動詞がない場合に、主語の後ろに置くものが、be動詞です。

基本的には、「〜です」の文章は、be動詞を使うということでOKです。

ややこしいのは日本語と英語のズレ

私は疲れた。

「疲れた」は、日本語として見れば動詞です。

しかし、この文章を英語にする場合、このように書きます。

I'm tired.

日本語では動詞でも、一般動詞を使っていません。

「英語では、日本語では動詞でも、形容詞で表す場合がある」ということを覚えておきましょう。

 

他にも「お腹がすく」「喉が渇く」「違う」といった、日本語では動詞ですが、英語だと形容詞、というものが存在しています。

  • I'm hungry.(私はお腹がすいています。)
  • I'm thirsty.(私は喉が渇いています。)
  • It's wrong.(それは違います。)

これらは、深く考えても仕方がないので、「A is B」は「A=B」と読み替えられるものだと考えてください。

 

私=お腹がすく(すいた状態)、ということです。

「違う」は意味上わかりにくいですが、それ=違う(違うもの)です。

進行形は、be動詞+ing形

現在進行形では、be動詞と一般動詞のing形を同時に使います。

I'm studying English now.(私は今、英語を勉強しているところです。)

たまにbe動詞が抜けてしまう人がいますが、ing形は正確に言うと動詞ではないので、必ずbe動詞をいれるようにしましょう。

講師

初級編ですので、これぐらいにしておきましょう。

 

英作の基本は、「考えた日本語の語順を、英語の語順に直す」ことです。

「誰が」「どうする」「なにを」「どこで」「いつ」

この語順を覚えておいてくださいね。

 

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この記事はたきもとが書きました


【中3数学】パターン確認「円周角と相似」

 解法

JUGEMテーマ:教育

 

大阪府では毎年、難しい図形問題が出されます。

それらの中でもパターン問題や、定理を使った問題があります。

難問でも大問全てを正解するのは非常に難しいですが、知っていれば途中までは解ける問題もあります。

ですので、今回は「相似と円周角」について紹介しておこうと思います。

 

円周角と相似

 

円周角の定理とその逆

 

円周角の定理は、中心角の半分が円周角になります。そのため、等しい弧に対する円周角は必ず等しくなります。

その逆、円周角が等しい場合、同一円周状にあることになります。

 

良く使う相似の証明方法

相似の証明の多くは二つの角がそれぞれ等しいことを証明することが多いです。

そのため、円周角で角を等しいと示すパターンもあります。

 

円周角の定理の図説

 

円周角の定理を使った相似の例

 

円周角の定理があるので、簡単に証明ができます

円周角の定理の逆の図説

二つの三角形ABC、BCDを用意します。

円周角の定理の逆を使った相似の例

 

さきほどの続きで直線ACと、直線BDの交点をEと置きます

すると、△AEDと△BECについて相似を示すことができます。

 

円周角の定理が使えると、対頂角と合わせることで、簡単に相似は証明できます。

 

実際の出され方

実際は図形が複雑化します。

使わない余計な線を増やしたり、三角形の数を増やしたりして、分かりにくくされて出題されます。

ただ、 共通な直線があり、等しい角がある場合 は、円周角の定理の逆を疑ってみましょう。

当日図形問題が分からなかった場合

大問1の見直しを徹底しましょう。

計算問題でのミスが一番差になってしまいます。

見直しの基本は、 自信のあるところこそを見直すこと です。

 

 

関連ページ

 

 

この記事はたきもとが書きました


【理科テク】オームの法則の裏技

 解法

JUGEMテーマ:教育

 

 

今回は中学二年の電流の問題の解き方を紹介します。

この解き方をマスターすると計算ミスを減らすことができますよ。

まずは基本から確認していきます。

 

オームの法則

電圧は、抵抗に流れる電流に比例します。

この計算の式は絶対に覚えないと、どうしようもないやつです。

 

 

電流、電圧と繋ぎ方

 

直列回路

電流は常に等しく、電圧は足し算になります。

並列回路

電流は足し算に、電圧は等しくなります。

 

覚え方

電流は流れる電気の量です。

直列でつながっている場合、一本道なので、流れる量はどこでもいっしょです。並列回路のように、回路が2つに分かれすると、電流も2つに分かれ、値は小さくなります。その後に合流すると元の値に戻ります。

 

電圧は流す勢いです。抵抗に当たると流す力は弱まります。

直列の場合は、一本道なので、抵抗に当たる度に電圧は弱くなります。並列の場合、枝分かれしても流れる勢いは変わりませんので、電圧の値は変わりません。

 

全体の抵抗の求め方

直列回路

そのまま足し算してOKです。

 

並列回路

逆数の足し算をして、最後にもう一度逆数にします。

最後に逆数にし忘れが多いので注意しましょう。

 

全体の抵抗を求める場合の裏技

 

全体の電流、電圧が分かっている場合は、ますは全体の電流と、電圧を求めます。それから全体の抵抗を求めれば良いのです。

裏技としていますが、正直これが正攻法だと個人的には思っています。

この方法では単純にオームの法則を使って立式し、連立方程式を解くことになります。慣れた方法のほうがやりやすいですよね。

 

逆に教科書にも載っている公式に関しては、使わなくて済むなら、使わないほうが良いです。

逆数の足し算を使わなければいけないのは、抵抗の値しか分からない場合だけです。

あの方法は最後に逆数にするのを忘れるミスや、単純な分数の計算ミスが非常に多いです。

ミスになりやすいものはなるべく使わない方向でいきましょう。

逆数にして足す方法を覚えなくて良いわけではありませんからね。

 

関連ページ

 

この記事はたきもとが書きました。


【千里山教室】三平方の定理を満たす整数たち<数学応用問題対策2>

 解法

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大阪府の入試では図形問題が非常に好まれます。

そこで今回は三平方の定理を取り上げようと思います。

三平方の定理は覚えている前提でお話をしていきます。

 

基本的な知識

 

三平方の定理は、成立したものを全て同じ数でかけても成り立ちます。

有名な図形の比も、そのまま出ることはなく、何倍かされて出されていることが多いです。

だから、3:4:5のように覚えるように言うのです。

 

整数の場合

先ほど書いた3:4:5ぐらいなら皆さんも覚えらているでしょう。

入試の問題として、見たことのあるものが5:12:13、7:24:25、9:40:41の4つです。

3:4:5と違って連続する数ではないので覚えにくそうですが、実はこれはめちゃくちゃ簡単に求められます。

 

まずは3:4:5で説明をします。

まず、一番小さい数が奇数である必要があります。

3は奇数ですね。その二乗を連続する二数の足し算で表します。

3の二乗は9で、それを連続する二数に分けると9=4+5になります。

これで3:4:5です。

 

同じように次の奇数は5です。

5の二乗は25で、それを連続する二数に分けると25=12+13です。

これで5:12:13が作れました。

 

あとは同じ要領で作ることができます。

「奇数の二乗を連続する二数の足し算で表す」です。

 

ただし、これですべての三平方を満たす整数が求められたわけではありません。

実際には8:15:17のような上記の法則を満たさない組み合わせもあります。

ただ、数字がかなり大きいですので、まず見ない形です。

特に覚える必要はないかとは思います。

 

全てのピタゴラス数

 

ここからは完全に高校の範囲です。中学では問われることはない、はずです。

三平方の定理は別名ピタゴラスの定理と言い、それを満たす整数をピタゴラス数と言います。

その三つの数を ( a, b ,c )とします。自然数m , n を用意すると、 ( a, b ,c )は次のようにあらわすことができます。

a=m^2-n^2 , b=2mn , c=m^2+n^2

 

この式はピタゴラス数のすべてを表すことができている式です。

証明はまだ中学生には難しいと思うのでお勧めしません。

男性講師

実際に入試の問題で、三平方の定理を満たす整数の組み合わせで数字の大きいものが出ていたことがあります。今回紹介した整数の組み合わせは覚えておくと役に立つかもしれませんよ。

 

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計算で絶対に間違えない方法を考えてみた

動点問題を作業化してみた

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この記事はたきもとが書きました


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