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【大学入試】理系プラチカ第6問のポイント解説

 解法

こんにちは
太秦教室の白石です!

国公立大学の前期入試の合格発表も終わり、”新”高校3年生の受験シーズンがいよいよ始まりましたね。
共通テストの導入もあり大変な戦いになるでしょうが、本当に大切なことは変わりません。
これから頑張ってやっていきましょうね。

では、プラチカ第6問のポイント解説です!

 

 

 

 

 

______________________

第1章|二次関数
No.6 [大阪教育]

-2≦x≦2の範囲で、関数f(x)=x2+2x-2 , g(x)=-x2+2x+a+1について、次の命題が成り立つような a の範囲をそれぞれ求めよ。

(1)すべてのxに対して、f(x)<g(x)
(2)あるxに対して、f(x)<g(x)
(3)すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)
(4)ある組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)
______________________

ポイント

今回はなかなか骨の折れる問題でした。
「すべてのx」とか「あるx」といった表現がどういう条件を表しているのかを考えていきます。
いつものように、状況を図示しながらすすめていきます。

またここでは、h(x)=g(x)ーf(x)=-2x2+ a +3 として関数の上下関係を考えていきます。
このように解答中で何度も使う関数の計算式は別の関数に置き換えてやると解答が簡略化できて時間短縮にもつながります。
最初のうちは思いつかないかもしれませんが、習熟が進んでくると問題を解き始める前にそういった勘が働くようになるのです。

ワンポイント解説

 

[イメージ図]

 

 

 

(1)すべてのxに対して、f(x)<g(x)

[イメージ図]のように、それぞれのxについてg(x) >f(x)であればよいので
この問題の条件は、

-2≦x≦2の範囲で、つねにh(x)>0が成り立つ

よって、h(-2)=h(2)>0 ⇔ -8+ a +3>0  ∴ a > 5

 

(2)あるxに対して、f(x)<g(x)

今度は、たとえf(x)>g(x)となるxが存在したとしても、1つでもf(x)<g(x)を満たすxが存在すればよいことになります。
ゆえに、この問題の条件は、

h(x)の最大値をMとするとき、M>0が成り立つ

よって、M=h(0)= a +3>0  ∴ a > -3

(3)すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)

つづいて、すべての組x1,x2について考えていきます。
このとき、[イメージ図]のようにf(x)とg(x)の最大値・最小値を考える必要があることに気付きます。
そこで、f(x)とg(x)の最大値・最小値をそれぞれMf,mf,Mg,mgとしておきましょう。
すべての組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)が成り立つ条件は、

mg > Mfが成り立つ

よって、a-7 > 6  ∴ a > 13

(4)ある組x1,x2に対して、f(x1)<g(x2)

最後は、(2)と(3)を合わせたような問題です。
どの組み合わせでもいいので、1か所でもf(x1)>g(x2)を満たす組があればいいので、考えるべき条件は

Mg > mfが成り立つ

すなわち、a + 2 > -3  ∴ a > -5

 

答案例

 

 

 

今日はここまで!
次回は、2次関数編の最終回です。

以上、白石でした。

 

 

理系プラチカ解説シリーズ

【大学入試】国公立大学に受かりたい人の数学勉強法

【大学入試】理系プラチカ第1問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第2問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第3問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第4問のポイント解説!

【大学入試】理系プラチカ第5問のポイント解説!

 

 

ご指摘、ご質問等がございましたら以下のメールアドレスにお寄せください。

uzumasa@yougakusya.com


【大学入試】理系プラチカ第5問のポイント解説

 解法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

ずいぶんと間が空いてしまいましたが、プラチカ第5問のポイント解説です!

 

 

______________________

第1章|二次関数

No.5 [岐阜大]

2次方程式 mx^2-x-2=0 の2つの実数解が、それぞれ以下のようになるための m の条件を求めよ。

(1) 2つの解がともに-1より大きい。

(2)1つの解は1より大きく、他の解は1より小さい。

(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい。

______________________

 

ポイント

地方国公立大らしい、典型的な解の配置問題ですね。

二次方程式の左辺を関数f(x)とおいてy=f(x)のグラフを考えることがこの問題のカギになります。

 

そのうえでこの問題を解くポイントは3つあります。

場合分けの数を減らす

条件を図示する

解答の工夫をする

 

場合分けの数を減らす

問題文の冒頭に「2次方程式 mx^2-x-2=0 の2つの実数解が……」とあります。

一見なんの変哲もないリード文に見えますが、これは暗に「m≠0」という条件を提示しています。

この問題で扱うのは「2つの実数解」をもつ2次方程式だということを示しているのです。

仮に「方程式 mx^2-x-2=0 の実数解が…」というリード文だと、m=0の場合、

つまりグラフが直線になる場合についても検討しなくてはいけないことになります

(レベルが高くなると、あえてm=0の場合を排除しない問題もありますので、注意してください。)

 

さて、m≠0ということが分かるとさらに場合分けを減らすことができます。

つまり、

mx^2-x-2=0 ⇔ x^2-x/m-2/m=0 (∵m≠0)

このように変形できるので、mの値の正負によらず下に凸のグラフだけを考えればよいことになります。

もし、この変形をしなかったらmの値の正負によって上に凸のグラフと下に凸のグラフの両方を検討する必要がありますが

同じ結果になることは想像しやすいのではないでしょうか。

解答時間の短縮という意味でもこの式変形は絶対に行ってください(m≠0に気付けば必然的に変形したくなります)。

 

よって、ここから先は

 f(x)=x^2-x/m-2/m

として考えていきます。

条件を図示する

次に条件を図示していきます。

(1)について、

x^2-x/m-2/m=0が x>-1の範囲で2つの実数解をもつということは、

「y=f(x)のグラフがx>-1の範囲でx軸と2点で交わる」というように言い換えることができます。

これを図示すると以下のようになります。

これによって、

[1]軸:1/2m>-1

[2]頂点のy座標 ≦ 0

[3]f(-1)>0    という条件を見いだせるのです。

あとはこれらのmに関する連立不等式を解けば求めるmの範囲をがわかります。

 

(2),(3)についても基本的な流れは同じです。

各設問について、どのような条件を満たせばよいかを考えるのですが、

だいたいは

ー瓦琉銘

頂点のy座標

F団蠅裡の値に対するyの正負(判別式Dの正負)

を考えることが多いです。

そんなことも頭に入れながら進めてみてください。

解答の工夫をする

ここからは、問題の解法と直接関係のないお話になります。

国公立大学の2次試験では、基本的に記述式の解答用紙が採用されています。

そして、白紙の回答用紙に解答を記述する場合も少なくありません。

大問ごとの解答欄は区切られていますが、どの小問をどこに解答するかは自分で決めなくてはいけません。

逆にいうと、工夫して記述を省力化することもできるのです。

 

この問題の場合は、(1),(2),(3)それぞれの場合について判別式Dや軸の式について検討しなくてはいけません。

特に頂点のy座標については3つとも同じ条件になるので、最初の計算結果を流用すればいいのです。

 

そうすると下の解答例のような書き方になるのですが、これには問題に取り掛かる段階で

ある程度の見通しをもって書き始めなくてはいけませんし、そこについては、習熟度を上げるほかないのかもしれません。

 

 

[解答例]

以上のポイントを踏まえて作成した解答例がコチラです。

 

 

今日はここまで!

次回も、引き続き2次関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

以上、白石でした。

理系プラチカ解説シリーズ

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【中3数学】相似や比の応用問題を解くためのテクニック

 解法

JUGEMテーマ:教育

 

 

caution!

これはあくまで基本問題が解ける人向けです。

具体的に言うと大阪府の公立入試C問題を解く人や、B問題の中でも上位の高校を狙う人に向けたものです。

解き方云々で解決するのはあまり良いことではないので、しっかりと理解することを心がけましょう。

 

なんだかんだ基本が大事

応用問題を解くには、当然、基本が分かっていないとできません。

ということで、まずは相似(合同)や比の問題で最初にやることを確認しておきます。

 

〕燭┐蕕譴芯垢機角度、比は図に書き込む

 

比を求めたい場合は、比を求めたい直線を、1辺として持つ三角形を見つける

 

それと相似な図形を探し、相似比を出す

 

基本的にはこの流れで相似の問題は解いていきます。

応用の問題でも最初の流れは同じです。特に,鉢△狼ヽEにできることですから、さほど苦戦しないでしょう。問題なのはで、難しい問題になると、相似な図形を自身で補助線を引いて相似な図形を作り出す必要があります。

 

応用の中でも基本「相似な図形の作り方」

平行四辺形の場合は”対角線でない線”を延長しましょう。その後に交点を結ぶように辺を延長します。こうすると、錯角、同位角を作れる平行四辺形では、簡単に相似な図形はつくることができます。当然、平行四辺形である、長方形、正方形、ひし形でも同様のことが言えます。

今回は例が非常に簡単ですが、結構使える場面が多いので覚えておきましょう。

 

そこそこ見る3つの線分の比を求めるパターン

別々の辺の比は揃えることができます。揃えることで長さが分かることもあるので、このパターンはできるようにしておきましょう

それぞれ辺の比を足してADの比を表します。

 

後は最小公倍数を考えるだけです。つまり3と5の最小公倍数の15をADの比としてあげると、それを基準にAB,BD,AC,CDを表すことができます。

 

証明の応用問題のテク!?

知っているパターンの問題じゃない。そう思ったらとりあえず角度を文字で置き、他の角度もすべて文字で表します。テクニックもくそもありません。下手な推理は時間を無駄にします。すべての角度を表してしまえば、等しい角度から相似な図形を探すことも可能です。時間が多少かかるので先に、目を通していな問題を解いたり、見直しを終わらせたりしてから取りかかることをお勧めします。

角度を出すときに使うのは、多角形の内角と外角、二等辺三角形、平行線の錯角、同位角、対頂角、相似、合同です。難しい計算も基本的にありませんから、割りきった方が早い場合もあります。表している途中で新しいことに気付くこともあります。とりあえず確かめるはある意味基本です。

相似条件が見つからない場合はだいたいこれ!
円周角の定理の逆

4つの点において、同一円周上にあるとみたときに円周角の定理が成り立っていれば、4つの点は同一円周上にあるということになります。これを実際に使おうと思うと、分からないところを文字を使って表し、それによって表せる角をひたすら図に書き込み、同じ角度が無いかを確かめる必要があります。それかあからさまに円周角しか用意されていないかです。後者の場合でも”詰ったらとりあえず円周角の定理を疑う”と思っておけば気付きには繋がるでしょう。

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【中3数学】九九の逆と素因数分解

 解法

JUGEMテーマ:教育

九九は皆さん小2のときに言えるように練習しましたよね。

では九九の逆は言えるようにしていますか?

九九の逆は言えるようにしていると結構役に立つので計算スピードを上げたい、分数の約分が苦手、平方根が苦手、という人は身につけておいて損はありませんよ。

九九の逆と素因数分解

九九の逆と分数

当たり前といえば当たり前ですが、これをサラッとできるようになれば、分数の計算が、かなり楽になっていきます。

最小公倍数、最大公約数を見つける際にも役立ちますよ。

 

素因数分解

数を素数の積で表す方法です。素数で割っていくのが通常のやり方ですが、九九の逆で書いていくこともできます。

九九と合わせる例

126の場合、偶数であるので、まず、2×63にします。63は九九の逆で7×9に、9を3×3にします。

126=2×63=2×7×9=2×7×3×3

 

そもそも、素因数分解をしていくには、何で割れるかが分からないといけないので、割れる数の判別の仕方は確認しておきましょう。

割れる数の判別

2の倍数

一の位の数が偶数であれば、2で割ることができます。

 

3の倍数

各位の数の和が3の倍数であれば3で割ることができます。

 

3の倍数で割れる例

・825の場合

8+2+5=15

3の倍数なので3で割ることができます。

 

・9153の場合

9+1+5+3=18

18は3の倍数なので3で割ることができます。

さらに、9の倍数であるので9でも割ることができます。

 

・105の場合

1+0+5=6

3の倍数なので3で割ることができます。

6の倍数の場合は6で割ることができるとは限りません。

 

4の倍数

基本的には2で2回割ることができれば、4の倍数です。

 

他の見分ける方法として、十の位までが4の倍数であれば、4の倍数になります。

100も4の倍数であり、千の位は100×10、万の位は100×100で表すことができます。

 

4の倍数の例

124=100+24

24は4の倍数なので、124は4の倍数です。

 

5の倍数

一の位が5か0であれば、5の倍数です。

 

6の倍数

偶数であるので、2の倍数であることが確かめられます。

その後に各位の数の和が3の倍数であれば6の倍数です。

 

7の倍数

簡単に確かめる方法がありません。

2〜6の倍数でなければ、7より大きい素数で割って確認していきましょう。

素数で地道に探す例

2639

一の位が9なので奇数、各位の和が 2+6+3+9=20で3の倍数でもありません。こういう場合は7,11,13と割れるものを探します。

 

 

平方根への利用

ルート計算などをするときは、素因数分解や、九九の逆をやる癖をつけておくと、ルートの外に出し忘れることも減るのでお勧めです。計算の順番も考えておくと、より良いですよ。

14×3×6=252

とするよりも、先にどういう数か分かりやすくします。

14×3×6=2×7×3×2×3=2×2×3×3×7

としておくと、計算が続く場合に使い勝手が良いですよね。特に割り算などがある場合には計算がしやすくなりますよ。

 

 

ルートの計算に苦戦している人は、一度九九の逆がぱっと言えるか確認してみましょう。

一人でやるのは難しいので友だちや先生に問題は出してもらいましょうね。

 

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この記事はたきもとが書きました。

 

 


【大学入試】理系プラチカ第3問のポイント解説

 解法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今日は、前回に引き続いて理系受験生 必携のプラチカのポイント解説をしていきます!

______________________

第1章|二次関数

No.3 [摂南大]

xについての2次不等式 x^2-(a+1)x+a<0 , 3x^2+2x-1>0 を同時に満たす整数 x がちょうど3つ存在するように

定数 a の値の範囲を定めよ。

______________________

 

ポイント

この問題を解くポイントは3つあります。

定数 a を含む2次不等式を解く

2つの2次不等式の解の共通範囲を求める

a の値の設定

 

定数 a を含む2次不等式を解く

xについての2次不等式に定数 a が含まれている場合、

その定数 a の値に注意して場合分けをする必要があります。

具体的には、x^2-(a+1)x+a<0 の左辺を因数分解すると (x-a)(x-1) となります。

ここで、a=1のときは (x-1)^2<0 となり解はありませんので、

定数 a が1より大きいか小さいかで場合分けをします。

() a>1 のとき、1<x<a

() a<1 のとき、a<x<1

 

2つの2次方程式の解の共通範囲を求める

もう一方の2次不等式の解は、x<-1,1/3<x となるので、先ほどの解との共通範囲を求めます。

x に関する数直線を書くとわかりやすいのでそれを利用します。

記事の最後に添付している解答例にあるように図を書きます。

判明している数の大小に気を付けながら共通範囲を書きだします。

 

a の値の設定

最後に、「満たす整数 x がちょうど3つ存在する」という条件から a の値を定めます。

それぞれの場合について調整していくのですが、ここでも注意すべき点があります。

整数をちょうど3つ含むために a がどこに(どの2整数の間に)配置されるかがわかったら

いよいよ定数 a の範囲を絞り込んでいきますが、ここで注意したいのが等号のつけ方です。

解答例を見てください。

() の場合では定数 a は4と5の間にありますが、ここでこの区間端が範囲に含まれるのか否かが問題になります。

つまり、使う記号が「<」なのか「≦」なのかを考えなくてはいけないということです。

理解が進んでいる人にとってはなんということもない吟味なのですが

まだ慣れていない人はここで混乱してしまうことがよくあります。

 

見分けるポイントはひとつです。

その整数を解として認めた場合に「満たす整数 x がちょうど3つ存在する」という条件をクリアできるか、です。

この場合、a=4 を解に含めると 2次不等式の解が1<x<4 となり、満たす整数が2つになる可能性がうまれてしまいます。

またa=5 を解に含めなかった場合、2次不等式の解に1<x<5 となる場合が含まれず漏れてしまいます。

したがって、a の範囲は 4<a≦5 となるのです。

 

このあたりの議論については、青チャートの重要例題107にも

同じ問題が紹介されていますので参照してみてください。

 

[解答例]

 

 

今日はここまで!

次回も、引き続き2次関数の問題を解説していきますのでお楽しみに。

以上、白石でした。

 

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【大学入試】理系プラチカ第2問のポイント解説

 解法

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今日は、前回に引き続いて理系受験生 必携のプラチカのポイント解説をしていきます!

 

前回の記事を書きながら、考えたことがあります。

塾の先生として高校生に数学を教えるようになってからは

数学の問題をより構造的に解くことができるようになったのです。

 

つまり、問題を一目見ただけで

・その問題のパターン

・注意して議論すべきポイント

・必要十分な記述

これらが瞬時にわかるようになったのです。

 

もちろん、高校を卒業して劇的に頭がよくなったわけでもないので

単純に問題に触れる回数が増えたこと人に教えるという作業を繰り返したこと

大きなポイントになっているのではないかと思います。

 

高校生のときに、もっと問題を解いて自分の言葉で人に解説していたらなぁ…と思います(笑)

逆にいうと、いま高校数学を学んでいる生徒のみなさんにとって最も大事なことだと思います。

この記事では、なるべくそういうポイントに照準を絞って書いていこうと思うので、

是非参考にしてください‼✎

 

では、今回解説する問題はコチラです↓↓

______________________

第1章|二次関数

No.2 [宇都宮大]

aを定数とするとき、2次関数y=x^2-2ax+2a^2について

(1) 区間 0≦x≦2 におけるこの関数の最大値と最小値を求めよ。

(2) 区間 0≦x≦2 におけるこの関数の最小値が20であるとき、aの値を求めよ。

______________________

 

ポイント

この手の問題は、非常にオーソドックスな最大値・最小値の問題です。

プラチカに取り組んでいる人なら、瞬時に解法が思いつくでしょう。

(この問題に手が出ない人は、青チャート毅p118の例題74を参照してください。)

 

場合分け

この問題も、例によって場合分けが必要になります。

最初に与式の右辺をf(x)とおき

f(x)=x^2-2ax+2a^2=(x-a)^2+a^2 と変形しておきましょう。

 

 

最大値をM,最小値をmと表すことにすると、場合分けは↑のようになります。

軸x=aがグラフのどの位置にあるかによって、最大値・最小値はこれらの4パターンをとります。

 

最小値は区間内に軸を含むか否か、最大値は軸が区間端のどちらに偏っているかによって決まります。

それらをうまく整理して漏れなくダブりなく分類できるように心がけてください。

 

よって、それぞれの場合のM,mは以下のようになります。

 

() a≦0 のとき

  M=f(2)=2a^2-4a+4   m=f(0)=2a^2

 

() 0≦a≦1 のとき

    M=f(2)=2a^2-4a+4   m=f(a)=a^2

 

() 1≦a≦2 のとき

    M=f(0)=2a^2            m=f(a)=a^2

 

() 2≦a のとき

    M=f(0)=2a^2            m=f(2)=2a^2-4a+4

 

(2)では、それぞれのmについてm=20を解くとそのときのaの値を求めることができます。

ただし、ここで絶対に忘れてはいけないことがあります。

 

解の吟味

そう、解の吟味です。

 

たとえば、

()について、m=20より 

2a^2=20 ∴a=±√10 となりますが、条件より a≦0 なので、解として使えるのはa=-√10 のみです。

 

(髻()のとき(0≦a≦2では)

a^2=20   ∴a=±2√5 となりますが、0≦a≦2には当てはまらないのでこの場合、解はありません

 

同様に、()のときは a=4 が解となります。

 

したがって、この問題の答えは a=-√10,4 の2つです。

 

 

 

まとめ

〇最大値・最小値の問題は超基本!絶対に失点しない。

〇場合分けは、漏れなくダブりなくが鉄則!

〇どんなときでも解の吟味は忘れない!

 

 

今日はここまで!

次回は、連立2次不等式の問題を扱います。

授業をしていてもここでつまづく生徒が多いように感じますので、

気合いを入れてやっていきます!

それでは今回はこの辺で〜〜

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【大学入試】理系プラチカ第1問のポイント解説!

 解法

 

こんにちは^^

太秦教室の白石です!

 

今回は、理系高校数学ABのプラチカを解説していきたいと思います!

 

プラチカといえば、大学受験の定番中の定番で私自身も高校生の時にはお世話になりました。

全国の大学の2次試験で出題された良問を単元ごとに取り揃えており理系の受験生は必ずマスターしておきたい1冊です。

 

そこで、このブログではプラチカの問題を解説しながら、基礎的な事項や注意すべき点などにも述べていきます。

また、必要に応じて青チャートの問題も抜粋して紹介していこうと思います。

(※青チャートは、用語の定義や公式を確認したりパターン問題の解放をおさらいしたりするために使います。)

 

前置きが長くなりましたが…

プラチカ第1章からはじめましょう!

______________________

第1章|2次関数

No.1 [名城大]

2次関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は区間0≦x≦3における最大値が3,最小値が-5である。

このとき、a,bの組をすべて求めよ。

______________________

 

ポイント

まず、この問題をパッと見たときに気を付けなくてはならない点があります。

それは、aの正負がわからない ということです。

つまり、aの正負によってグラフが上に凸か下に凸かが決まり、最大値・最小値をとる点が変わります。

なので、aの範囲について以下のように場合分けしてやる必要があります。

() a>0のとき

() a<0のとき

 

あれ? a=0のときは考えなくていいのでしょうか?

実は、"この問題では"考えなくても大丈夫です。

なぜかというと、問題文をよく見ると…

2次関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は…」

そうです。f(x)は2次関数なのです(つまり、a≠0)。

問題文に直接的には書いてありませんが、関数f(x)を2次関数に限定することで暗にa≠0という条件が付けられていたのです。

逆にいうと、問題文が「関数 f(x)=ax^2-2ax+b (a,bは定数)は…」となっている場合では、

a=0の場合も考えなくてはいけないので要注意です!!

 

無事に(?)場合分けができたところで、実際に最大値と最小値を考えていきます。

 

() a>0のとき

f(x)を平方完成して軸 x=1を求め、グラフをかくと以下のようになります。

 

このとき、区間0≦x≦3では、x=3で最大値を、x=1で最小値をとることは明らかです。

よって、最大値 f(3)=3 ,最小値 f(1)=-5 の連立方程式を解けば答えとなるa,bの組が出てきます。

※このとき、導いた答えが条件(a>0)を満たしているかを必ず確認しましょう。

 

つづいて、

()a<0のとき

 

()と同様に、x=1で最大値を、x=3で最小値をとることが分かります。

再度 連立方程式を解き、解の吟味をすれば完了です!

 

詳しい答案の記述方法はプラチカの解答編を見てくださいね。

______________________

【おさらい】

〇x^2の項の係数に文字が含まれていたら、その正負をチェックする!

〇場合分けができたら、グラフの概形を描く

〇解がでてきたら、必ず吟味をする

 

 

解説について

ここでは、問題の本質や解き方の指針に着目しています。

したがって平方完成や連立方程式の解法など基礎的な操作は端折って解説しています。

今回の問題に全く手が出なかった人や、途中でなにをすればわからなかった人は、

ぜひチャート式問題集などで復習してみてください。

おすすめ問題:青チャート p.122 例題77

 

それでは今回はこの辺で……

 

お問い合わせは、コチラから。

お電話でも受け付けています。

 

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【基礎英語】はじめての英作文(中級編)

 解法

JUGEMテーマ:教育

英語はシンプルに考えよう

前回の英作の続きです。

  • 英語の基本的な語順
  • be動詞と一般動詞の使い分け

「これらができていて、文法事項はわかっているんだ」という人はそのまま進みましょう。

まだ不安がある人は、まず初級編を見てください。

講師

難しい表現はなるべく使わなくて済むように、考えた日本語を、簡単な文章にすることが必要です。

 

日本語を英語で表現しようとすると、どうしても難しいときがあります。

その場合は、自分の使える単語から言い換えることができないかを考えましょう。

【レベル3】助動詞

基本の文章の作り方

助動詞の文章を書く際に気をつけることは、和文の最後です。

彼はピアノを弾くことができます。

最後に「〜できます」とあるので、これは助動詞の「can」を使う文章です。

助動詞の部分を日本語の文から抜いて、シンプルな文として考えます。

彼はピアノを弾きます。

動作を表す語句があるので、一般動詞を使う文章です。

 

主語が三人称単数なので、一般動詞に「s」をつけます。

「私」を一人称、「あなた」を二人称、それ以外全てを三人称といいます。

He plays the piano.

助動詞を主語の後ろに置きましょう。

「〜弾けます」は「弾くことができる」と言うことなので、助動詞の「can」を使います。

He can play the piano.

助動詞を使う肯定文の文章では、主語の後ろに助動詞が来ます。

 

その後ろに来る動詞は原形になります。

例ではplaysだったので、原形のplayになっています。

 

否定文では、助動詞の後ろに「not」が入ります。

He cannot play the piano.

疑問文では、助動詞を前に出します。

Can he play the piano ?

このように、助動詞があるかないかで、文章の作り方が決まるので、助動詞は覚えておきましょう。

おもな助動詞
  • will:〜するでしょう。〜つもりです。(未来)
  • can:〜できる(可能)、〜かもしれない(推量)
  • may:〜かもしれない(推量)、〜してもよい(許可)
  • must:〜に違いない(推量)、〜しなければいけない(義務)
  • must not:〜してはいけない(禁止)
  • should:〜すべきである(義務)
  • shall:(疑問文で)〜しませんか?

※wouldやcouldも助動詞ですが、中学レベルでは使い方がほぼ決まっているため、ここではあえて入れていません。

書き換えなどで使われる助動詞的な役割を持つもの

助動詞としてではなく、あえて別で紹介します。

というのも、先に書いた「助動詞」の文の作り方「助動詞は主語の後ろに置き、否定文だとその後ろにnot、疑問文では助動詞を前に」が当てはまらないからです。

シンプルにするには助動詞のある文、ない文で、書き方をはっきりと区別することが必要です。

be動詞を使うもの
  • be going to:〜する予定です(willと近い意味になる)
  • be able to:〜できる(canと近い意味になる)

これらはbe動詞を使っているため、be動詞を使った文章の構造になります。

 

つまり、否定文にする際には、be動詞の後ろにnotが、疑問文にする際にはbe動詞を前に持って来ます。

toの後ろは原形の動詞が来ます。

一般動詞をつかうもの
  • have to:〜しなければならない(must)
  • don't have to:〜しなくてもよい(must not とは意味が異なる)

一般動詞を使っているため、否定文では主語のあとに「don't」を、疑問文では「do」を、主語の前に持って来きます。

toの後ろは原型の動詞が来ます。

 

【レベル4】疑問詞を使った疑問文

疑問詞
  • what:何が、何を
  • when:いつ 
  • where:どこで
  • who:だれが、だれと
  • which:どちらの
  • whose:だれの
  • how:どのように、どれくらい
  • why:なぜ
文章の作り方

自由英作ではあまり出番がありませんが、「下線部を訪ねる疑問文を作りなさい」というパターンは頻出です。

英語の語順「誰が」「どうする」「何を」「どこで」「いつ」を意識しつつ、実際に問題で出される形で確認していきましょう。

私は放課後、図書館に行きます。

まずは日本語を英語の語順に並び変えます。

私は行きます。図書館に放課後

I go to the library after school.

日本語を疑問文にします。

私は行きますか?図書館に放課後

「私」のままでは、勝手にしろよという話になってしまうので、「私」を「あなた」に変えます。

あなたは行きますか?図書館に放課後

Do you go to the library after school?

線を引いた箇所を前の前置詞ごと消します。

前置詞が無い場合はそのまま消して大丈夫です。

 

今回は場所を消したので、場所を尋ねる疑問詞「where」を先頭に入れます。

Where do you go after school?

どこへあなたは行きますか。放課後

これで完成です。

この疑問文の答えは、途中で出てきた肯定文の文章です。

私は行きます。図書館に放課後

I go to the library after school.

howをつかうパターン

「how」を使うパターンには、2通ります。

程度(物の大きさや、値段)を聞く場合と、方法を聞く場合です。

程度を尋ねる場合は how+形容詞+疑問文

この本は3000円です。

動作を表す言葉がなく、この本=3000円、なので、be動詞の文章です。

この本は〜です。3000円

This book is 3000yen.

疑問文にします。

Is this book 3000yen?

下線部を消して、金額を聞く「how much」を先頭に持っていきます。

How much is this book?

どれくらいの値段、この本は?

方法を尋ねる場合は how+疑問文

私は学校へ自転車で行きます。

まずは並びかえて英語にします。

私は行きます。学校へ、自転車で

I go to school by bike.

疑問文にします。

あなたは行きますか?学校へ、自転車で

Do you go to school by bike?

下線部を前置詞ごと消してHowを入れます。

How do you go to school?

どのように、あなたは行きますか?学校へ

疑問詞が主語になるパターン
主語として使われるおもな疑問詞
  • what
  • who

疑問詞が主語になる場合は、be動詞や一般動詞の疑問文の形を作る段階が必要なくなります。

be動詞の場合

ケンがこのクラスので一番背が高いです。

語順を並びかえて、英語にします。

ケンが〜です。一番背が高い、このクラスで

Ken is the tallest in this class.

この段階で下線部を消去します。

そして、その代わりに「who」を入れます。

Who is the tallest in this class?

誰がですか?一番背が高い、このクラスで

一般動詞の場合

がこの絵を書きました。

日本語を英語の語順にしてから、英語に直します。

が書きました。この絵を

He wrote this picture.

疑問文の形を作らずに下線部を消して疑問詞の「Who」を入れます。

 

一般動詞の疑問文の形にしないので「did」が入りません。

動詞も過去形のままです。

Who wrote this picture?

誰が書きましたか?この絵を

注意点

疑問詞は単数扱いなので、三人称単数のsを付けたり、be動詞は単数形にしたりします。

忘れないように注意しましょう。

  • They play the piano.
  • Who plays the piano?

 

【番外編】冠詞の使い分け

冠詞の基本

名詞の前に付くa / an / theなどを「冠詞」といいます。

a / anの使い方

「a / an」は、単数のものに付きます。

「an」を使うのは、単語の先頭に母音(a / i / u / e / oで作れる音)が来る場合です。

発音に関係するため、時間を表すhourの場合でも、an hourとなります。

theの使い方

theは特定の場所や物を指している場合に使います。

 

例えば「a park」だと一つの公園ですが「the park」だとある特定の公園を指す言葉になります。

一度話題に出てきたものに関しても、特定の物として「the」をつけます。

一つしかないものも、もともと特定されているので「the」をつけます。

地球:the earth

 

決まった表現として、「the」を使うものもあり、 楽器は「the」を使います。

I go to school. あれ?冠詞は?

「I go to school.」は冠詞がありませんが、正しい文章です。

しかし、これを使えるのは、学校の生徒です。

普段は学校に関係のない人が学校へ行く場合は、「I go to the school.」となります。

 

同じような構造を持っているものがあります。

I went to bed.

「私は寝た」と言うことですが、これは冠詞をつけると「ベッドに(寝る以外の用事で)行った」ということになります。

 

「学校は生徒が勉強する場所」、「ベッドは寝るためのもの」という具合に、その言葉の持つ性質のままの場合、冠詞をつけない場合があります。

誤って付けないように注意しましょう。

 

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この記事はたきもとが書きました。


【基礎英語】はじめての英作文(初級編)

 解法

JUGEMテーマ:教育

英語はシンプルに!

最近、私も英語の授業変化についていこうと、友人と英語でやり取りを始めてみました。

 

しかし、どうも返事に時間がかかることが多いです。

そこで、海外に住んで10年以上の友人に、英語で文章を書く際のポイントを聞いてみました。

男性

難しい文法・表現は使わなくていいんだよ。

シンプルに考えよう。

結局、私が普段生徒が英作をするときに言っていることと同じではないか、と反省しました。

日常会話も英作の問題も、やることはいっしょということですね。

 

そこで今回はシンプルに考えるとはどういうことなのか?

基本に立ち返って説明します。

本当に基礎の基礎から書いていきますので、「英作が毎回苦手で点数が全く取れない」という人は必見です。

「ちょっとは書けるぜ!」という人も、考え方の基本なので、復習と思って最初から読み進めていくことをお勧めします。

英語の基本の形

英語の基本の形を日本語をもとにして確認していきます。

基本の形の単語を入れ替えることで文章を作ることができます。

【レベル0】中学1年

まずは一番簡単な文章で確認です。

【例文】私は英語を勉強します。

この文章を区切り番号をつけます。

「私は、〜します。〜を」となるように番号をつけましょう。

私は/ 英語を/ 勉強します。

(1)  (3)   (2)

つけた番号の順番に並び替えます。

私は / 勉強します / 英語を

そして英語に訳します。

I study English.

このように英語では、日本語の主語、述語が最初に来るようになっています。

 

今回は本当に基本の文章だったので、「当たり前なこと」と思っているかもしれませんが、この「当たり前なこと」が大切です。

英語の文章は、文法という当たり前なことの積み重ねによって、できあがっていくのです

【レベル1】中学1年

レベル0は確認のため、非常に簡単な文章でしたが、次は少し複雑にしますよ。

【例文】私は学校で毎日、サッカーを練習します。

まずは、さっきと同じように切りましょう。

私は / 学校で / 毎日 / サッカーを / 練習します。

言葉を引いて、レベル0のような「私は○○をします」という文章を作ります。

引いたものはとりあえず後ろに置いておきます。

私は練習します。学校で毎日サッカーを

このあとに並べる順番ですが、基本的には、「何を」「どこで」「いつ」の順番に並べます。

私は練習します。サッカーを学校で毎日

これで、英語の語順になったので、あとは英語にするだけです。

I practice soccer at school everyday.

レベル1のポイントは、「私は○○をします」という文章を作ったあとに「何を」「どこで」「いつ」の順番に言葉を続けることです。

「どこで」と「いつ」はひっくり返しても伝わりますが、基本的にはこの順番で書くようにしましょう。

 

「いつ」に関しては「明日の3時」のように、2回以上出てくるときがあります。

この場合は、範囲の小さい方を先にします。

 

つまり、「3時 / 明日の」として英語にします。

at three o'clock tomorrow ということです。

【レベル2】中学1年

英作文では、現在・過去といった時制を気にする必要があります。

基本的にはレベル0、レベル1を気にしつつ、時制も気にするということになります。

 

過去形の場合は、動詞に「ed」をつける、もしくは不規則変化させるかです。

特に気をつけるのが、疑問文などの形です。

疑問文では「did」が過去の役割を持ってくれているのですが、動詞も過去形にしがちです。

 

ということで、疑問文もいっしょにやってしまいましょう。

【例文】あなたは公園で昨日写真を撮りましたか?

まずは日本語を肯定分に直します。

「あなた」は「私」に直した方が良いです。

私は公園で昨日写真を撮りました。

そこからの流れは同じです。

 

言葉を引いて、レベル0のような「私は○○をします」という文章を作ります。

引いたものは「何を」「どこで」「いつ」の順番に並べます。

私は撮りました。写真を、公園で、昨日

英語の語順になったので、あとは英語にします。

I took a picture in the park yesterday.

これを疑問文に直すので、Iはyouに直して、一般動詞の疑問文ではdidを前に置き、動詞を原形に戻します。

Did you take a picture in the park yesterday?

これで完成です。

 

考えている上では、一度肯定文に直し、疑問文にしています。

もちろん、いきなり疑問文を書けるようになれば、それが良いとは思います。

まずは、しっかりと段階を踏んで書いていくようにしましょう。

 

【番外編】be動詞と一般動詞の使い分け方

「be動詞」とは、is / am / are / was / were / (be)のことです。

「一般動詞」は、be動詞以外の動詞のことです。

 

be動詞と一般動詞は、動詞としては同時には使えません。

「I am study English.」などにはならないということです。

日本語で見分ける

私は中学生です。

この文章には、具体的な動作(勉強するや遊ぶ)がありません。

be動詞は、具体的な動作がない場合に使います。

 

動詞がない場合に、主語の後ろに置くものが、be動詞です。

基本的には、「〜です」の文章は、be動詞を使うということでOKです。

ややこしいのは日本語と英語のズレ

私は疲れた。

「疲れた」は、日本語として見れば動詞です。

しかし、この文章を英語にする場合、このように書きます。

I'm tired.

日本語では動詞でも、一般動詞を使っていません。

「英語では、日本語では動詞でも、形容詞で表す場合がある」ということを覚えておきましょう。

 

他にも「お腹がすく」「喉が渇く」「違う」といった、日本語では動詞ですが、英語だと形容詞、というものが存在しています。

  • I'm hungry.(私はお腹がすいています。)
  • I'm thirsty.(私は喉が渇いています。)
  • It's wrong.(それは違います。)

これらは、深く考えても仕方がないので、「A is B」は「A=B」と読み替えられるものだと考えてください。

 

私=お腹がすく(すいた状態)、ということです。

「違う」は意味上わかりにくいですが、それ=違う(違うもの)です。

進行形は、be動詞+ing形

現在進行形では、be動詞と一般動詞のing形を同時に使います。

I'm studying English now.(私は今、英語を勉強しているところです。)

たまにbe動詞が抜けてしまう人がいますが、ing形は正確に言うと動詞ではないので、必ずbe動詞をいれるようにしましょう。

講師

初級編ですので、これぐらいにしておきましょう。

 

英作の基本は、「考えた日本語の語順を、英語の語順に直す」ことです。

「誰が」「どうする」「なにを」「どこで」「いつ」

この語順を覚えておいてくださいね。

 

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この記事はたきもとが書きました


【中3数学】パターン確認「円周角と相似」

 解法

JUGEMテーマ:教育

 

大阪府では毎年、難しい図形問題が出されます。

それらの中でもパターン問題や、定理を使った問題があります。

難問でも大問全てを正解するのは非常に難しいですが、知っていれば途中までは解ける問題もあります。

ですので、今回は「相似と円周角」について紹介しておこうと思います。

円周角と相似

円周角の定理とその逆

 

円周角の定理は、中心角の半分が円周角になります。そのため、等しい弧に対する円周角は必ず等しくなります。

その逆、円周角が等しい場合、同一円周状にあることになります。

良く使う相似の証明方法

相似の証明の多くは二つの角がそれぞれ等しいことを証明することが多いです。

そのため、円周角で角を等しいと示すパターンもあります。

円周角の定理の図説

円周角の定理を使った相似の例

 

円周角の定理があるので、簡単に証明ができます

円周角の定理の逆の図説

二つの三角形ABC、BCDを用意します。

円周角の定理の逆を使った相似の例

 

さきほどの続きで直線ACと、直線BDの交点をEと置きます

すると、△AEDと△BECについて相似を示すことができます。

 

円周角の定理が使えると、対頂角と合わせることで、簡単に相似は証明できます。

 

実際の出され方

実際は図形が複雑化します。

使わない余計な線を増やしたり、三角形の数を増やしたりして、分かりにくくされて出題されます。

ただ、 共通な直線があり、等しい角がある場合 は、円周角の定理の逆を疑ってみましょう。

当日図形問題が分からなかった場合

大問1の見直しを徹底しましょう。

計算問題でのミスが一番差になってしまいます。

見直しの基本は、 自信のあるところこそを見直すこと です。

 

 

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